Derivadas resueltas: producto, cociente, cadena y recta tangente

Derivar es como seguir una receta: identifica qué forma tiene la función (producto, cociente o “función dentro de función”) y aplica la regla que toca. Aquí las tienes:

$$(fg)'=f'g+fg'\qquad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\qquad \big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\,g'(x)$$

1Regla del producto

Deriva $f(x)=x^3\sin x$.

Paso 1 · Identificamos los factores

$u=x^3\Rightarrow u'=3x^2$ y $v=\sin x\Rightarrow v'=\cos x$.

Paso 2 · Aplicamos $u'v+uv'$

$$f'(x)=3x^2\sin x+x^3\cos x$$

2Regla del cociente

Deriva $g(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$, con $x\neq1$.

Paso 1 · Arriba y abajo

Arriba $2x+1$, con derivada $2$. Abajo $x-1$, con derivada $1$.

Paso 2 · Aplicamos la fórmula

$$g'(x)=\frac{2\,(x-1)-(2x+1)\cdot1}{(x-1)^2}$$

Paso 3 · Simplificamos

$$g'(x)=\frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2}$$

Como $g'(x)<0$ para todo $x\neq1$, $g$ es decreciente en $(-\infty,1)$ y en $(1,+\infty)$.

En el cociente el orden importa: “la de arriba derivada por la de abajo, menos la de arriba por la de abajo derivada”. ¡Un signo cambiado y la nota se va!

3Regla de la cadena

Deriva $h(x)=e^{x^2}$.

La cadena: derivas la función de fuera (sin tocar lo de dentro) y multiplicas por la derivada de lo de dentro.

Paso 1 · Fuera y dentro

Fuera: $e^u$, cuya derivada es $e^u$. Dentro: $u=x^2$, con $u'=2x$.

Paso 2 · Multiplicamos

$$h'(x)=e^{x^2}\cdot2x=2x\,e^{x^2}$$

4La recta tangente

Halla la recta tangente a $y=x^2$ en $x=3$.

Paso 1 · El punto

$y(3)=9$, así que pasa por $(3,9)$.

Paso 2 · La pendiente

$y'=2x$, luego $m=y'(3)=6$.

Paso 3 · Punto-pendiente

$$y-9=6(x-3)\;\Longrightarrow\; y=6x-9$$

Mueve el deslizador $a$: la recta naranja es la tangente a $y=x^2$ en $x=a$. Su pendiente es siempre $2a$. Ponla en $a=3$ y comprueba el resultado.

¿Ves cómo con $a=0$ la tangente es horizontal? Ahí la pendiente vale $0$: es el mínimo de la parábola. Esa idea es la base de la optimización. ¡Vas genial!

?Mini-quiz: ¿lo has pillado?

1. La derivada de $x^2\cos x$ es…

2. La derivada de $\ln(3x+1)$ es…

3. La tangente a $y=x^2$ en $x=1$ es…

¡Buen trabajo! Hay mucho más en camino.

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