Matrices: producto, determinante, inversa y un sistema 2×2

Las matrices no son solo tablas de números: transforman el plano. Hoy vas a verlo con tus propios ojos. Trabajaremos con estas dos:

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$$

1El producto no es conmutativo

Cada elemento del producto es “fila de la primera por columna de la segunda”.

Paso 1 · Calculamos $AB$

$$AB=\begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot1 & 1\cdot1+2\cdot0\\ 3\cdot0+4\cdot1 & 3\cdot1+4\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$$

Paso 2 · Calculamos $BA$

$$BA=\begin{pmatrix}0\cdot1+1\cdot3 & 0\cdot2+1\cdot4\\ 1\cdot1+0\cdot3 & 1\cdot2+0\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}$$

Paso 3 · Comparamos

$AB\neq BA$: el producto de matrices no es conmutativo. Multiplicar por $B$ a la derecha intercambia las columnas de $A$; a la izquierda, sus filas.

2Determinante e inversa

Paso 1 · Determinante

$$\det A=1\cdot4-2\cdot3=-2\neq0$$

No es cero, así que $A$ es invertible.

Paso 2 · Fórmula para 2×2

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$

Paso 3 · Aplicamos

$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ \tfrac32&-\tfrac12\end{pmatrix}$$

Paso 4 · Comprobamos

$$AA^{-1}=\begin{pmatrix}1\cdot(-2)+2\cdot\frac32 & 1\cdot1+2\cdot(-\frac12)\\ 3\cdot(-2)+4\cdot\frac32 & 3\cdot1+4\cdot(-\frac12)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\ ✔$$

Mueve $t$ de 0 a 1: el cuadrado unidad (morado) se transforma con $M=(1-t)I+tA$. Con $t=1$, los vectores base van a las columnas de $A$: $(1,3)$ en rojo y $(2,4)$ en azul. El área queda multiplicada por $|\det A|=2$, y como $\det A<0$ la figura se “da la vuelta”. Pista: el determinante pasa por 0 cuando el cuadrado se aplasta.

3Resolver un sistema con la inversa

$$\begin{cases}x+2y=5\\3x+4y=6\end{cases}\iff A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$$

Paso 1 · Despejamos

Multiplicamos por $A^{-1}$ a la izquierda en los dos lados.

Paso 2 · Calculamos

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\cdot5+1\cdot6\\ \tfrac32\cdot5-\tfrac12\cdot6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\ \tfrac92\end{pmatrix}$$

Paso 3 · Comprobamos

$-4+2\cdot\frac92=5$ ✔ y $3\cdot(-4)+4\cdot\frac92=-12+18=6$ ✔

Truco de Profe Pi: antes de calcular una inversa, calcula el determinante. Si es 0, no hay inversa y te ahorras el resto. ¡Tiempo de examen ganado!

?Mini-quiz: ¿lo has pillado?

1. $\det\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$ vale…

2. ¿Es invertible $\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}$?

3. Para dos matrices cuadradas cualesquiera, $AB=BA$…

¡Buen trabajo! Hay mucho más en camino.

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